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Ex Libris
The family of
Henry Posner

Der Vortrag über „Raum und Zeit“, den Hermann Minkowski auf der Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte zu Köln gehalten hat, bildet die letzte seiner genialen Schöpfungen. Leider ist es ihm nicht beschieden gewesen, den feineren Ausbau seines kühnen Entwurfs einer Mechanik, in welcher die Zeit den drei Dimensionen des Raumes koordiniert ist, zu vollenden. Denn ein tragisches Geschick hat den als Mensch und Forscher gleich geschätzten Verfasser auf der Höhe seines Lebens und Schaffens am 12. Januar d. J. der Wissenschaft, seinen Lieben und Freunden jäh entrissen.

Das verständnisvolle und begeisterte Interesse, das sein Vortrag erweckt hatte, erfüllte Minkowski mit innerer Befriedigung, und er wünschte, seine Darlegungen durch eine Sonderausgabe weiteren Kreisen zugänglich zu machen. Der Verlagsbuchhandlung von B. G. Teubner und dem Unterzeichneten ist es eine schmerzliche Pflicht der Pietät und Freundschaft, diesen letzten Wunsch des Verstorbenen hiermit zu erfüllen.

Halle a. S., den 20. Februar 1909.

[1]
M. H.! Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund′ an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.

Ich möchte zunächst ausführen, wie man von der gegenwärtig angenommenen Mechanik wohl durch eine rein mathematische Überlegung zu veränderten Ideen über Raum und Zeit kommen könnte. Die Gleichungen der Newtonschen Mechanik zeigen eine zweifache Invarianz. Einmal bleibt ihre Form erhalten, wenn man das zugrunde gelegte räumliche Koordinatensystem einer beliebigen Lagenveränderung unterwirft, zweitens, wenn man es in seinem Bewegungszustande verändert, nämlich ihm irgendeine gleichförmige Translation aufprägt; auch spielt der Nullpunkt der Zeit keine Rolle. Man ist gewohnt, die Axiome der Geometrie als erledigt anzusehen, wenn man sich reif für die Axiome der Mechanik fühlt, und deshalb werden jene zwei Invarianzen wohl selten in einem Atemzuge genannt. Jede von ihnen bedeutet eine gewisse Gruppe von Transformationen in sich für die Differentialgleichungen der Mechanik. Die Existenz der ersteren Gruppe sieht man als einen fundamentalen Charakter des Raumes an. Die zweite Gruppe straft man am liebsten mit Verachtung, um leichten Sinnes darüber hinwegzukommen, daß man von den physikalischen Erscheinungen her niemals entscheiden kann, ob der als ruhend vorausgesetzte Raum sich nicht am Ende in einer gleichförmigen Translation befindet. So führen jene zwei Gruppen ein völlig getrenntes Dasein nebeneinander. Ihr gänzlich heterogener Charakter mag davon abgeschreckt haben, sie zu komponieren. Aber gerade die komponierte volle Gruppe als Ganzes gibt uns zu denken auf.

Wir wollen uns die Verhältnisse graphisch zu veranschaulichen suchen. Es seien x,y,zdisplaystyle x,,y,,z rechtwinklige Koordinaten für den Raum, und tdisplaystyle t! bezeichne die Zeit. Gegenstand unserer Wahrnehmung sind immer nur Orte und Zeiten verbunden. Es hat niemand einen Ort anders

[2]
bemerkt als zu einer Zeit, eine Zeit anders als an einem Orte. Ich respektiere aber noch das Dogma, daß Raum und Zeit je eine unabhängige Bedeutung haben. Ich will einen Raumpunkt zu einem Zeitpunkt, d. i. ein Wertsystem x,y,z,tdisplaystyle x,,y,,z,,t einen Weltpunkt nennen. Die Mannigfaltigkeit aller denkbaren Wertsysteme x,y,z,tdisplaystyle x,,y,,z,,t soll die Welt heißen. Ich könnte mit kühner Kreide vier Weltachsen auf die Tafel werfen. Schon eine gezeichnete Achse besteht aus lauter schwingenden Molekülen und macht zudem die Reise der Erde im All mit, gibt also bereits genug zu abstrahieren auf; die mit der Anzahl 4 verbundene etwas größere Abstraktion tut dem Mathematiker nicht wehe. Um nirgends eine gähnende Leere zu lassen, wollen wir uns vorstellen, daß aller Orten und zu jeder Zeit etwas Wahrnehmbares vorhanden ist. Um nicht Materie oder Elektrizität zu sagen, will ich für dieses Etwas das Wort Substanz brauchen. Wir richten unsere Aufmerksamkeit auf den im Weltpunkt x,y,z,tdisplaystyle x,,y,,z,,t vorhandenen substantiellen Punkt und stellen uns vor, wir sind imstande, diesen substantiellen Punkt zu jeder anderen Zeit wieder zu erkennen. Einem Zeitelement dtdisplaystyle dt! mögen die Änderungen dx,dy,dzdisplaystyle dx,,dy,,dz der Raumkoordinaten dieses substantiellen Punktes entsprechen. Wir erhalten alsdann als Bild sozusagen für den ewigen Lebenslauf des substantiellen Punktes eine Kurve in der Welt, eine Weltlinie, deren Punkte sich eindeutig auf den Parameter tdisplaystyle t! von −∞displaystyle -infty ! bis +∞displaystyle +infty ! beziehen lassen. Die ganze Welt erscheint aufgelöst in solche Weltlinien, und ich möchte sogleich vorwegnehmen, daß meiner Meinung nach die physikalischen Gesetze ihren vollkommensten Ausdruck als Wechselbeziehungen unter diesen Weltlinien finden dürften.

     Durch die Begriffe Raum und Zeit fallen die x,y,zdisplaystyle x,,y,,z-Mannigfaltigkeit t=0displaystyle t=0! und ihre zwei Seiten t>0displaystyle t>0! und t<0displaystyle t<0! auseinander. Halten wir der Einfachheit wegen den Nullpunkt von Raum und Zeit fest, so bedeutet die zuerst genannte Gruppe der Mechanik, daß wir die x,y,zdisplaystyle x,,y,,z-Achsen in t=0displaystyle t=0! einer beliebigen Drehung um den Nullpunkt unterwerfen dürfen, entsprechend den homogenen linearen Transformationen des Ausdrucks

x2+y2+z2displaystyle x^2+y^2+z^2,

in sich. Die zweite Gruppe aber bedeutet, daß wir, ebenfalls ohne den Ausdruck der mechanischen Gesetze zu verändern,

x,y,z,tdisplaystyle x,,y,,z,,t durch x−αt,y−βt,z−γt,tdisplaystyle x-alpha t,,y-beta t,,z-gamma t,t

mit irgendwelchen Konstanten α,β,γdisplaystyle alpha ,,beta ,,gamma ersetzen dürfen. Der Zeitachse kann hiernach eine völlig beliebige Richtung nach der oberen halben Welt t>0displaystyle t>0! gegeben werden. Was hat nun die Forderung der Orthogonalitat

[3]
im Raume mit dieser völligen Freiheit der Zeitachse nach oben hin zu tun?

     Die Verbindung herzustellen, nehmen wir einen positiven Parameter cdisplaystyle c! und betrachten das Gebilde

c2t2−x2−y2−z2=1.displaystyle c^2t^2-x^2-y^2-z^2=1.,

t=0displaystyle t=0!

t>0,displaystyle t>0,,

x,y,z,tdisplaystyle x,,y,,z,,t

x′,y′,z′,t′displaystyle x',,y',,z',,t'

Fig. 1.

Verständnis der übrigen jener Transformationen erhalten wir hernach bereits, wenn wir eine solche unter ihnen ins Auge fassen, bei der ydisplaystyle y! und zdisplaystyle z! ungeändert bleiben. Wir zeichnen (Fig. 1) den Durchschnitt jener Schale mit der Ebene der xdisplaystyle x!- und der tdisplaystyle t!-Achse, den oberen Ast der Hyperbel c2t2−x2=1,displaystyle c^2t^2-x^2=1,, mit seinen Asymptoten. Ferner werde ein beliebiger Radiusvektor OA′displaystyle OA'! dieses Hyperbelastes vom Nullpunkte Odisplaystyle O! aus eingetragen, die Tangente in A′displaystyle A'! an die Hyperbel bis zum Schnitte B′displaystyle B'! mit der Asymptote rechts gelegt, OA′B′displaystyle OA'B'! zum Parallelogramm OA′B′C′displaystyle OA'B'C'! vervollständigt, endlich für das spätere noch B′C′displaystyle B'C'! bis zum Schnitt D′displaystyle D'! mit der xdisplaystyle x!-Achse durchgeführt. Nehmen wir nun OC′displaystyle OC'! und OA′displaystyle OA'! als Achsen für Parallelkoordinaten x′,t′displaystyle x',,t'! mit den Maßstäben OC′=1,OA′=1/c,displaystyle OC'=1,,OA'=1/c,, so erlangt jener Hyperbelast wieder den Ausdruck c2t′2−x′2=1,t′>0,displaystyle c^2t'^2-x'^2=1,t'>0!,, und der Übergang von x,y,z,tdisplaystyle x,,y,,z,,t zu x′,y,z,t′displaystyle x',,y,,z,,t' ist eine der fraglichen Transformationen. Wir nehmen nun zu den charakterisierten Transformationen noch die beliebigen Verschiebungen des Raum- und Zeit-Nullpunktes hinzu und konstituieren damit eine offenbar noch von dem Parameter cdisplaystyle c! abhängige Gruppe von Transformationen, die ich mit Gcdisplaystyle G_c! bezeichne.

Lassen wir jetzt cdisplaystyle c! ins Unendliche wachsen, also 1/cdisplaystyle 1/c! nach Null konvergieren, so leuchtet an der beschriebenen Figur ein, daß der Hyperbelast sich immer mehr der xdisplaystyle x!-Achse anschmiegt, der Asymptotenwinkel sich zu einem gestreckten verbreitert, jene spezielle Transformation in der Grenze sich in eine solche verwandelt, wobei die t′displaystyle t'!-Achse eine beliebige Richtung nach oben haben kann und x′displaystyle x'! immer genauer sich an xdisplaystyle x! annähert. Mit Rücksicht hierauf ist klar, daß aus der

[4]
Gruppe Gcdisplaystyle G_c! in der Grenze für c=∞,displaystyle c=infty ,, also als Gruppe G∞,displaystyle G_infty ,, eben jene zu der Newtonschen Mechanik gehörige volle Gruppe wird. Bei dieser Sachlage, und da Gcdisplaystyle G_c! mathematisch verständlicher ist als G∞,displaystyle G_infty ,, hätte wohl ein Mathematiker in freier Phantasie auf den Gedanken verfallen können, daß am Ende die Naturerscheinungen tatsächlich eine Invarianz nicht bei der Gruppe G∞,displaystyle G_infty ,, sondern vielmehr bei einer Gruppe Gcdisplaystyle G_c! mit bestimmtem endlichen, nur in den gewöhnlichen Maßeinheiten äußerst großen cdisplaystyle c! besitzen. Eine solche Ahnung wäre ein außerordentlicher Triumph der reinen Mathematik gewesen. Nun, da die Mathematik hier nur mehr Treppenwitz bekundet, bleibt ihr doch die Genugtuung, daß sie dank ihren glücklichen Antezedenzien mit ihren in freier Fernsicht geschärften Sinnen die tiefgreifenden Konsequenzen einer solcher Ummodelung unserer Naturauffassung auf der Stelle zu erfassen vermag.

Ich will sogleich bemerken, um welchen Wert für cdisplaystyle c! es sich schließlich handeln wird. Für cdisplaystyle c! wird die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes im leeren Raume eintreten. Um weder vom Raum noch von Leere zu sprechen, können wir diese Größe wieder als das Verhältnis der elektrostatischen und der elektromagnetischen Einheit der Elektrizitätsmenge kennzeichnen.

Das Bestehen der Invarianz der Naturgesetze für die bezügliche Gruppe Gcdisplaystyle G_c! würde nun so zu fassen sein:

Man kann aus der Gesamtheit der Naturerscheinungen durch sukzessiv gesteigerte Approximationen immer genauer ein Bezugsystem x,y,zdisplaystyle x,,y,,z und t,displaystyle t,, Raum und Zeit, ableiten, mittels dessen diese Erscheinungen sich dann nach bestimmten Gesetzen darstellen. Dieses Bezugsystem ist dabei aber durch die Erscheinungen keineswegs eindeutig festgelegt. Man kann das Bezugsystem noch entsprechend den Transformationen der genannten Gruppe Gcdisplaystyle G_c! beliebig verändern, ohne daß der Ausdruck der Naturgesetze sich dabei verändert.

Z. B. kann man der beschriebenen Figur entsprechend auch t′displaystyle t'! Zeit benennen, muß dann aber im Zusammenhange damit notwendig den Raum durch die Mannigfaltigkeit der drei Parameter x′,y,zdisplaystyle x',,y,,z definieren, wobei nun die physikalischen Gesetze mittels x′,y,z,t′displaystyle x',,y,,z,,t' sich genau ebenso ausdrücken würden, wie mittels x,y,z,t.displaystyle x,,y,,z,,t. Hiernach würden wir dann in der Welt nicht mehr den Raum, sondern unendlich viele Räume haben, analog wie es im dreidimensionalen Räume unendlich viele Ebenen gibt. Die dreidimensionale Geometrie wird ein Kapitel der vierdimensionalen Physik. Sie erkennen, weshalb ich am Eingange sagte, Raum und Zeit sollen zu Schatten herabsinken und nur eine Welt an sich bestehen.

[5]

Nun ist die Frage, welche Umstände zwingen uns die veränderte Auffassung von Raum und Zeit auf, widerspricht sie tatsächlich niemals den Erscheinungen, endlich gewährt sie Vorteile für die Beschreibung der Erscheinungen?

Bevor wir hierauf eingehen, sei eine wichtige Bemerkung vorangestellt. Haben wir Raum und Zeit irgendwie individualisiert, so entspricht einem ruhenden substantiellen Punkte als Weltlinie eine zur tdisplaystyle t!-Achse parallele Gerade, einem gleichförmig bewegten substantiellen Punkte eine gegen die tdisplaystyle t!-Achse geneigte Gerade, einem ungleichförmig bewegten substantiellen Punkte eine irgendwie gekrümmte Weltlinie. Fassen wir in einem beliebigen Weltpunkte x,y,z,tdisplaystyle x,,y,,z,,t die dort durchlaufende Weltlinie auf, und finden wir sie dort parallel mit irgendeinem Radiusvektor OA′displaystyle OA'! der vorhin genannten hyperboloidischen Schale, so können wir OA′displaystyle OA'! als neue Zeitachse einführen, und bei den damit gegebenen neuen Begriffen von Raum und Zeit erscheint die Substanz in dem betreffenden Weltpunkte als ruhend. Wir wollen nun dieses fundamentale Axiom einführen:

Die in einem beliebigen Weltpunkte vorhandene Substanz kann stets bei geeigneter Festsetzung von Raum und Zeit als ruhend aufgefaßt werden.

Das Axiom bedeutet, daß in jedem Weltpunkte stets der Ausdruck

c2dt2−dx2−dy2−dz2displaystyle c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2,

positiv ausfällt oder, was damit gleichbedeutend ist, daß jede Geschwindigkeit vdisplaystyle v! stets kleiner als cdisplaystyle c! ausfällt. Es würde danach für alle substantiellen Geschwindigkeiten cdisplaystyle c! als obere Grenze bestehen und hierin eben die tiefere Bedeutung der Größe cdisplaystyle c! liegen. In dieser anderen Fassung hat das Axiom beim ersten Eindruck etwas Mißfälliges. Es ist aber zu bedenken, daß nun eine modifizierte Mechanik Platz greifen wird, in der die Quadratwurzel aus jener Differentialverbindung zweiten Grades eingeht, so daß Fälle mit Überlichtgeschwindigkeit nur mehr eine Rolle spielen werden, etwa wie in der Geometrie Figuren mit imaginären Koordinaten.

Der Anstoß und wahre Beweggrund für die Annahme der Gruppe Gcdisplaystyle G_c! nun kam daher, daß die Differentialgleichung für die Fortpflanzung von Lichtwellen im leeren Raume jene Gruppe Gcdisplaystyle G_c! besitzt.^[1] Andererseits hat der Begriff starrer Körper nur in einer Mechanik mit der Gruppe G∞displaystyle G_infty ! einen Sinn. Hat man nun eine Optik mit Gc,displaystyle G_c,, und gäbe es andererseits

[6]
starre Körper, so ist leicht abzusehen, daß durch die zwei zu Gcdisplaystyle G_c! und zu G∞displaystyle G_infty gehörigen hyperboloidischen Schalen eine tdisplaystyle t!-Richtung ausgezeichnet sein würde, und das würde weiter die Konsequenz haben, daß man an geeigneten starren optischen Instrumenten im Laboratorium einen Wechsel der Erscheinungen bei verschiedener Orientierung gegen die Fortschreitungsrichtung der Erde müßte wahrnehmen können. Alle auf dieses Ziel gerichteten Bemühungen, insbesondere ein berühmter Interferenzversuch von Michelson, hatten jedoch ein negatives Ergebnis. Um eine Erklärung hierfür zu gewinnen, bildete H. A. Lorentz eine Hypothese, deren Erfolg eben in der Invarianz der Optik für die Gruppe Gcdisplaystyle G_c! liegt. Nach Lorentz soll jeder Körper, der eine Bewegung besitzt, in Richtung der Bewegung eine Verkürzung erfahren haben, und zwar bei einer Geschwindigkeit vdisplaystyle v! im Verhältnisse

1:1−v2c2.displaystyle 1:sqrt 1-frac v^2c^2.

Diese Hypothese klingt äußerst phantastisch. Denn die Kontraktion ist nicht etwa als Folge von Widerständen im Äther zu denken, sondern rein als Geschenk von oben, als Begleitumstand des Umstandes der Bewegung.

Ich will nun an unserer Figur zeigen, daß die Lorentzsche Hypothese völlig äquivalent ist mit der neuen Auffassung von Raum und Zeit, wodurch sie viel verständlicher wird. Abstrahieren wir der Einfachheit wegen von ydisplaystyle y! und zdisplaystyle z! und denken uns eine räumlich eindimensionale Welt, so sind ein wie die tdisplaystyle t!-Achse aufrechter und ein gegen die tdisplaystyle t!-Achse geneigter Parallelstreifen (siehe Fig. 1) Bilder für den Verlauf eines ruhenden, bezüglich eines gleichförmig bewegten Körpers, der jedesmal eine konstante räumliche Ausdehnung behält. Ist OA′displaystyle OA'! parallel dem zweiten Streifen, so können wir t′displaystyle t'! als Zeit und x′displaystyle x'! als Raumkoordinate einführen, und es erscheint dann der zweite Körper als ruhend, der erste als gleichförmig bewegt. Wir nehmen nun an, daß der erste Körper als ruhend aufgefaßt die Länge ldisplaystyle l! hat, d. h. der Querschnitt PPdisplaystyle PP! des ersten Streifens auf der x-Achse=l⋅OCdisplaystyle xtext-Achse=lcdot OC! ist, wo OCdisplaystyle OC! den Einheitsmaßstab auf der xdisplaystyle x!-Achse bedeutet, und daß andererseits der zweite Körper als ruhend aufgefaßt die gleiche Länge ldisplaystyle l! hat; letzteres heißt dann, daß der parallel der x′displaystyle x'!-Achse gemessene Querschnitt des zweiten Streifens, Q′Q′=l⋅OC′displaystyle Q'Q'=lcdot OC'! ist. Wir haben nunmehr in diesen zwei Körpern Bilder von zwei gleichen Lorentzschen Elektronen, einem ruhenden und einem gleichförmig bewegten. Halten wir aber an den ursprünglichen Koordinaten x,tdisplaystyle x,,t fest, so ist als Ausdehnung des zweiten Elektrons der Querschnitt QQdisplaystyle QQ! seines zugehörigen Streifens parallel der xdisplaystyle x!-Achse anzugeben. Nun ist offenbar, da Q′Q′=l⋅OC′displaystyle Q'Q'=lcdot OC'!

[7]
ist, QQ=l⋅OD′displaystyle QQ=lcdot OD'!. Eine leichte Rechnung ergibt, wenn dx/dtdisplaystyle dx/dt! für den zweiten Streifen =vdisplaystyle =v! ist, OD′=OC⋅1−v2c2displaystyle OD'=OCcdot sqrt 1-frac v^2c^2, also auch PP:QQ=1:1−v2c2displaystyle PP:QQ=1:sqrt 1-frac v^2c^2!. Dies ist aber der Sinn der Lorentzschen Hypothese von der Kontraktion der Elektronen bei Bewegung. Fassen wir andererseits das zweite Elektron als ruhend auf, adoptieren also das Bezugsystem x′,t′,displaystyle x',t',, so ist als Länge des ersten der Querschnitt P′P′displaystyle P'P'! seines Streifens parallel OC′displaystyle OC'! zu bezeichnen, und wir würden in genau dem nämlichen Verhältnisse das erste Elektron gegen das zweite verkürzt finden; denn es ist in der Figur

P′P′:Q′Q′=OD:OC′=OD′:OC=QQ:PP.displaystyle P'P':Q'Q'=OD:OC'=OD':OC=QQ:PP,.

Lorentz nannte die Verbindung t′displaystyle t'! von xdisplaystyle x! und tdisplaystyle t! Ortszeit des gleichförmig bewegten Elektrons und verwandte eine physikalische Konstruktion dieses Begriffs zum besseren Verständnis der Kontraktionshypothese. Jedoch scharf erkannt zu haben, daß die Zeit des einen Elektrons ebenso gut wie die des anderen ist, d. h. daß tdisplaystyle t! und t′displaystyle t'! gleich zu behandeln sind, ist erst das Verdienst von A. Einstein.^[2] Damit war nun zunächst die Zeit als ein durch die Erscheinungen eindeutig festgelegter Begriff abgesetzt. An dem Begriffe des Raumes rüttelten weder Einstein noch Lorentz, vielleicht deshalb nicht, weil bei der genannten speziellen Transformation, wo die x′,t′displaystyle x',,t'!-Ebene sich mit der x,tdisplaystyle x,,t!-Ebene deckt, eine Deutung möglich ist, als sei die xdisplaystyle x!-Achse des Raumes in ihrer Lage erhalten geblieben. Über den Begriff des Raumes in entsprechender Weise hinwegzuschreiten, ist auch wohl nur als Verwegenheit mathematischer Kultur einzutaxieren. Nach diesem zum wahren Verständnis der Gruppe Gcdisplaystyle G_c! jedoch unerläßlichen weiteren Schritt aber scheint mir das Wort Relativitätspostulat für die Forderung einer Invarianz bei der Gruppe Gcdisplaystyle G_c! sehr matt. Indem der Sinn des Postulats wird, daß durch die Erscheinungen nur die in Raum und Zeit vierdimensionale Welt gegeben ist, aber die Projektion in Raum und in Zeit noch mit einer gewissen Freiheit vorgenommen werden kann, möchte ich dieser Behauptung eher den Namen Postulat der absoluten Welt (oder kurz Weltpostulat) geben.

Durch das Weltpostulat wird eine gleichartige Behandlung der vier Bestimmungsstücke x,y,z,tdisplaystyle x,,y,,z,,t möglich. Dadurch gewinnen, wie ich jetzt

[8] ausführen will, die Formen, unter denen die physikalischen Gesetze sich abspielen, an Verständlichkeit. Vor allem erlangt der Begriff der Beschleunigung ein scharf hervortretendes Gepräge.

Ich werde mich einer geometrischen Ausdrucksweise bedienen, die sich sofort darbietet, indem man im Tripel x,y,zdisplaystyle x,,y,,z stillschweigend
von zdisplaystyle z! abstrahiert. Einen beliebigen Weltpunkt Odisplaystyle O! denke ich zum Raum-Zeit-Nullpunkt gemacht. Der Kegel

c2t2−x2−y2−z2=0displaystyle c^2t^2-x^2-y^2-z^2=0,

Fig. 2

mit Odisplaystyle O! als Spitze (Fig. 2) besteht aus zwei Teilen, einem mit Werten t<0displaystyle t<0!, einem anderen mit Werten t>0displaystyle t>0!. Der erste, der Vorkegel von O,displaystyle O,, besteht, sagen wir, aus allen Weltpunkten, die „Licht nach Odisplaystyle O! senden“, der zweite, der Nachkegel von Odisplaystyle O!, aus allen Weltpunkten, die „Licht von Odisplaystyle O! empfangen“. Das vom Vorkegel allein begrenzte Gebiet mag diesseits von O,displaystyle O,, das vom Nachkegel allein begrenzte jenseits von Odisplaystyle O! heißen. Jenseits Odisplaystyle O! fällt die schon betrachtete hyperboloidische Schale

F=c2t2−x2−y2−z2=1,t>0.displaystyle F=c^2t^2-x^2-y^2-z^2=1,,t>0.

Das Gebiet zwischen den Kegeln wird erfüllt von den einschaligen hyperboloidischen Gebilden

−F=x2+y2+z2−c2t2=k2displaystyle -F=x^2+y^2+z^2-c^2t^2=k^2,

zu allen konstanten positiven Werten k2.displaystyle k^2,. Wichtig sind für uns die Hyperbeln mit Odisplaystyle O! als Mittelpunkt, die auf den letzteren Gebilden liegen. Die einzelnen Äste dieser Hyperbeln mögen kurz die Zwischenhyperbeln zum Zentrum Odisplaystyle O! heißen. Ein solcher Hyperbelast würde, als Weltlinie eines substantiellen Punktes gedacht, eine Bewegung repräsentieren, die für t=−∞displaystyle t=-infty ! und t=+∞displaystyle t=+infty ! asymptotisch auf die Lichtgeschwindigkeit cdisplaystyle c! ansteigt.

Nennen wir in Analogie zum Vektorbegriff im Raume jetzt eine gerichtete Strecke in der Mannigfaltigkeit der x,y,z,tdisplaystyle x,,y,,z,,t einen Vektor, so haben wir zu unterscheiden zwischen den zeitartigen Vektoren mit Richtungen von Odisplaystyle O! nach der Schale +F=1,t>0displaystyle +F=1,,t>0! und den raumartigen Vektoren mit Richtungen von Odisplaystyle O! nach −F=1displaystyle -F=1!. Die Zeitachse kann jedem Vektor der ersten Art parallel laufen. Ein jeder Weltpunkt zwischen Vorkegel und Nachkegel von Odisplaystyle O! kann durch das Bezugsystem als gleichzeitig mit O,displaystyle O,, aber ebensogut auch als früher als Odisplaystyle O! oder als später als Odisplaystyle O! eingerichtet werden. Jeder Weltpunkt diesseits Odisplaystyle O! ist notwendig

[9]
stets früher, jeder Weltpunkt jenseits Odisplaystyle O! notwendig stets später als O.displaystyle O,. Dem Grenzübergang zu c=∞displaystyle c=infty ! würde ein völliges Zusammenklappen des keilförmigen Einschnittes zwischen den Kegeln in die ebene Mannigfaltigkeit t=0displaystyle t=0! entsprechen. In den gezeichneten Figuren ist dieser Einschnitt absichtlich mit verschiedener Breite angelegt.

Einen beliebigen Vektor wie von Odisplaystyle O! nach x,y,z,tdisplaystyle x,,y,,z,,t zerlegen wir in die vier Komponenten x,y,z,t.displaystyle x,,y,,z,,t,. Sind die Richtungen zweier Vektoren beziehungsweise die eines Radiusvektors ORdisplaystyle OR! von Odisplaystyle O! an eine der Flächen ∓F=1displaystyle mp F=1! und dazu einer Tangente RSdisplaystyle RS! im Punkte Rdisplaystyle R! der betreffenden Fläche, so sollen die Vektoren normal zueinander heißen. Danach ist

c2tt1−xx1−yy1−zz1=0displaystyle c^2t,t_1-x,x_1-y,y_1-z,z_1=0!

die Bedingung dafür, daß die Vektoren mit den Komponenten x,y,z,tdisplaystyle x,,y,,z,,t und x1,y1,z1,t1displaystyle x_1,,y_1,,z_1,,t_1 normal zueinander sind.

Für die Beträge von Vektoren der verschiedenen Richtungen sollen die Einheitsmaßstäbe dadurch fixiert sein, daß einem raumartigen Vektor von Odisplaystyle O! nach −F=1displaystyle -F=1! stets der Betrag 1, einem zeitartigen Vektor von Odisplaystyle O! nach +F=1,t>0displaystyle +F=1,,t>0 stets der Betrag 1/cdisplaystyle 1/c! zugeschrieben wird.

Denken wir uns nun in einem Weltpunkte P(x,y,z,t)displaystyle P(x,,y,,z,,t) die dort durchlaufende Weltlinie eines substantiellen Punktes, so entspricht danach dem zeitartigen Vektorelement dx,dy,dz,dtdisplaystyle dx,,dy,,dz,,dt im Fortgang der Linie der Betrag

dτ=1cc2dt2−dx2−dy2−dz2.displaystyle dtau =frac 1csqrt c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.

Das Integral ∫dτ=τdisplaystyle int dtau =tau dieses Betrages auf der Weltlinie von irgendeinem fixierten Ausgangspunkte P0displaystyle P_0! bis zu dem variablen Endpunkte Pdisplaystyle P! geführt, nennen wir die Eigenzeit des substantiellen Punktes in P.displaystyle P,. Auf der Weltlinie betrachten wir x,y,z,t,displaystyle x,,y,,z,,t,, d. s. die Komponenten des Vektors OP,displaystyle OP,, als Funktionen der Eigenzeit τ,displaystyle tau ,, bezeichnen deren erste Differentialquotienten nach τdisplaystyle tau ! mit x˙,y˙,z˙,t˙,displaystyle dot x,,dot y,,dot z,,dot t,, deren zweite Differentialquotienten nach τdisplaystyle tau ! mit x¨,y¨,z¨,t¨displaystyle ddot x,,ddot y,,ddot z,,ddot t und nennen die zugehörigen Vektoren, die Ableitung des Vektors OPdisplaystyle OP! nach τdisplaystyle tau ! den Bewegungsvektor in Pdisplaystyle P! und die Ableitung dieses Bewegungsvektors nach τdisplaystyle tau ! den Beschleunigungsvektor in P.displaystyle P,. Dabei gilt

c2t˙2−x˙2−y˙2−z˙2=c2,displaystyle c^2dot t^2-dot x^2-dot y^2-dot z^2=c^2,

c2t˙t¨−x˙x¨−y˙y¨−z˙z¨=0,displaystyle c^2dot t,ddot t-dot x,ddot x-dot y,ddot y-dot z,ddot z=0,

d. h. der Bewegungsvektor ist der zeitartige Vektor in Richtung der Weltlinie in Pdisplaystyle P! vom Betrage 1, und der Beschleunigungsvektor in Pdisplaystyle P! ist normal zum Bewegungsvektor in P,displaystyle P,, also jedenfalls ein raumartiger Vektor.

[10]
Nun gibt es, wie man leicht einsieht, einen bestimmten Hyperbelast, der mit der Weltlinie in Pdisplaystyle P! drei unendlich benachbarte Punkte gemein hat, und dessen Asymptoten Erzeugende eines Vorkegels und eines Nachkegels sind (siehe unten Fig. 3). Dieser Hyperbelast heiße die Krümmungshyperbel in P.displaystyle P,. Ist Mdisplaystyle M! das Zentrum dieser Hyperbel, so handelt es sich also hier um eine Zwischenhyperbel zum Zentrum M.displaystyle M,. Es sei ϱdisplaystyle varrho ! der Betrag des Vektors MP,displaystyle MP,, so erkennen wir den Beschleunigungsvektor in Pdisplaystyle P! als den Vektor in Richtung MPdisplaystyle MP! vom Betrage c2/ϱ.displaystyle c^2/varrho .

Sind x¨,y¨,z¨,t¨displaystyle ddot x,,ddot y,,ddot z,,ddot t sämtlich Null, so reduziert sich die Krümmungshyperbel auf die in Pdisplaystyle P! die Weltlinie berührende Gerade, und es ist ϱ=∞displaystyle varrho =infty ! zu setzen.

Um darzutun, daß die Annahme der Gruppe Gcdisplaystyle G_c! für die physikalischen Gesetze nirgends zu einem Widerspruche führt, ist es unumgänglich, eine Revision der gesamten Physik auf Grund der Voraussetzung dieser Gruppe vorzunehmen. Diese Revision ist bereits in einem gewissen Umfange erfolgreich geleistet für Fragen der Thermodynamik und Wärmestrahlung^[3], für die elektromagnetischen Vorgänge, endlich für die Mechanik unter Aufrechterhaltung des Massenbegriffs.^[4]

Für letzteres Gebiet ist vor allem die Frage aufzuwerfen: Wenn eine Kraft mit den Komponenten X,Y,Zdisplaystyle X,,Y,,Z nach den Raumachsen in einem Weltpunkte P(x,y,z,t)displaystyle P(x,,y,,z,,t) angreift, wo der Bewegungsvektor x˙,y˙,z˙,t˙displaystyle dot x,,dot y,,dot z,,dot t ist, als welche Kraft ist diese Kraft bei einer beliebigen Änderung des Bezugsystemes aufzufassen? Nun existieren gewisse erprobte Ansätze über die ponderomotorische Kraft im elektromagnetischen Felde in den Fällen, wo die Gruppe Gcdisplaystyle G_c! unzweifelhaft zuzulassen ist. Diese Ansätze führen zu der einfachen Regel: Bei Änderung des Bezugsystemes ist die vorausgesetzte Kraft derart als Kraft in den neuen Raumkoordinaten anzusetzen, daß dabei der zugehörige Vektor mit den Komponenten

t˙X,t˙Y,t˙Z,t˙T,displaystyle dot tX,,dot tY,,dot tZ,,dot tT,

wo

T=1c2(x˙t˙X+y˙t˙Y+z˙t˙Z)displaystyle T=frac 1c^2left(frac dot xdot tX+frac dot ydot tY+frac dot zdot tZright)

die durch c2displaystyle c^2! dividierte Arbeitsleistung der Kraft im Weltpunkte ist, sich unverändert erhält. Dieser Vektor ist stets normal zum Bewegungsvektor in Pdisplaystyle P!. Ein solcher, zu einer Kraft in Pdisplaystyle P! gehörender Kraftvektor soll ein bewegender Kraftvektor in Pdisplaystyle P! heißen.

[11]
Nun werde die durch Pdisplaystyle P! laufende Weltlinie von einem substantiellen Punkte mit konstanter mechanischer Masse mdisplaystyle m! beschrieben. Das mdisplaystyle m!-fache des Bewegungsvektors in Pdisplaystyle P! heiße der Impulsvektor in P,displaystyle P,, das mdisplaystyle m!-fache des Beschleunigungsvektors in Pdisplaystyle P! der Kraftvektor der Bewegung in P.displaystyle P,. Nach diesen Definitionen lautet das Gesetz dafür, wie die Bewegung eines Massenpunktes bei gegebenem bewegenden Kraftvektor statthat:^[5]

Der Kraftvektor der Bewegung ist gleich dem bewegenden Kraftvektor.

Diese Aussage faßt vier Gleichungen für die Komponenten nach den vier Achsen zusammen, wobei die vierte, weil von vornherein beide genannten Vektoren normal zum Bewegungsvektor sind, sich als eine Folge der drei ersten ansehen läßt. Nach der obigen Bedeutung von Tdisplaystyle T! stellt die vierte zweifellos den Energiesatz dar. Als kinetische Energie des Massenpunktes ist daher das c2displaystyle c^2!-fache der Komponente des Impulsvektors nach der tdisplaystyle t!-Achse zu definieren. Der Ausdruck hierfür ist

mc2dtdτ=mc2/1−v2c2,displaystyle m,c^2frac dtdtau =m,c^2left/sqrt 1-frac v^2c^2,right.

d. i. nach Abzug der additiven Konstante mc2displaystyle m,c^2! der Ausdruck 12mv2displaystyle tfrac 12m,v^2 der Newtonschen Mechanik bis auf Größen von der Ordnung 1/c2.displaystyle 1/c^2,. Sehr anschaulich erscheint hierbei die Abhängigkeit der Energie vom Bezugsysteme. Da nun aber die tdisplaystyle t!-Achse in die Richtung jedes zeitartigen Vektors gelegt werden kann, so enthält andererseits der Energiesatz, für jedes mögliche Bezugsystem gebildet, bereits das ganze System der Bewegungsgleichungen. Diese Tatsache behält bei dem erörterten Grenzübergang zu c=∞displaystyle c=infty ! ihre Bedeutung auch für den axiomatischen Aufbau der Newtonschen Mechanik und ist in solchem Sinne hier bereits von Herrn J. R. Schütz^[6] wahrgenommen worden.

Man kann von vornherein das Verhältnis von Längeneinheit und Zeiteinheit derart wählen, daß die natürliche Geschwindigkeitsschranke c=1displaystyle c=1! wird. Führt man dann noch −1⋅t=sdisplaystyle sqrt -1cdot t=s an Stelle von tdisplaystyle t! ein, so wird der quadratische Differentialausdruck

dτ2=−dx2−dy2−dz2−ds2,displaystyle dtau ^2=-dx^2-dy^2-dz^2-ds^2,,

also völlig symmetrisch in x,y,z,s,displaystyle x,,y,,z,,s,, und diese Symmetrie überträgt sich auf ein jedes Gesetz, das dem Weltpostulate nicht widerspricht. Man kann danach das Wesen dieses Postulates mathematisch sehr prägnant in die mystische Formel kleiden:

3.105km=−1sek.displaystyle 3.10^5,textkm=sqrt -1,textsek.

[12]

Die durch das Weltpostulat geschaffenen Vorteile werden vielleicht durch nichts so schlagend belegt wie durch Angabe der von einer Fig. 3.   Fig. 4. beliebig bewegten punktförmigen Ladung nach der Maxwell-Lorentzschen Theorie ausgehenden Wirkungen. Denken wir uns die Weltlinie eines solchen punktförmigen Elektrons mit der Ladung edisplaystyle e! und führen auf ihr die Eigenzeit τdisplaystyle tau ! ein von irgendeinem Anfangspunkte aus. Um das vom Elektron in einem beliebigen Weltpunkte P1displaystyle P_1! veranlaßte Feld zu haben, konstruieren wir den zu P1displaystyle P_1! gehörigen Vorkegel (Fig. 4). Dieser trifft die unbegrenzte Weltlinie des Elektrons, weil deren Richtungen überall die von zeitartigen Vektoren sind, offenbar in einem einzigen Punkte P.displaystyle P,. Wir legen in Pdisplaystyle P! an die Weltlinie die Tangente und konstruieren durch P1displaystyle P_1! die Normale P1Qdisplaystyle P_1Q! auf diese Tangente. Der Betrag von P1Qdisplaystyle P_1Q! sei r.displaystyle r,. Als der Betrag von PQdisplaystyle PQ! ist dann gemäß der Definition eines Vorkegels r/cdisplaystyle r/c! zu rechnen. Nun stellt der Vektor in Richtung PQdisplaystyle PQ! vom Betrage e/rdisplaystyle e/r! in seinen Komponenten nach den x−,y−,z−displaystyle x-,,y-,,z-!Achsen das mit cdisplaystyle c! multiplizierte Vektorpotential, in der Komponente nach der tdisplaystyle t!-Achse das skalare Potential des von edisplaystyle e! erregten Feldes für den Weltpunkt P1displaystyle P_1! vor. Hierin liegen die von A. Liénard und von E. Wiechert aufgestellten Elementargesetze.[7] Bei der Beschreibung des vom Elektron hervorgerufenen Feldes selbst tritt sodann hervor, daß die Scheidung des Feldes in elektrische und magnetische Kraft eine relative ist mit Rücksicht auf die zugrunde gelegte Zeitachse; am übersichtlichsten sind beide Kräfte zusammen zu beschreiben in einer gewissen, wenn auch nicht völligen Analogie zu einer Kraftschraube der Mechanik. Ich will jetzt die von einer beliebig bewegten punktförmigen Ladung auf eine andere beliebig bewegte punktförmige Ladung ausgeübte ponderomotorische Wirkung beschreiben. Denken wir uns durch den Weltpunkt

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P1displaystyle P_1! die Weltlinie eines zweiten punktförmigen Elektrons von der Ladung e1displaystyle e_1! führend. Wir bestimmen P,Q,rdisplaystyle P,,Q,,r! wie vorhin, konstruieren sodann (Fig. 4) den Mittelpunkt der Krümmungshyperbel in P,displaystyle P,, endlich die Normale MNdisplaystyle MN! von Mdisplaystyle M! aus auf eine durch Pdisplaystyle P! parallel zu QP1displaystyle QP_1! gedachte Gerade. Wir legen nun, mit Pdisplaystyle P! als Anfangspunkt, ein Bezugsystem folgendermaßen fest, die tdisplaystyle t!-Achse in die Richtung PQ,displaystyle PQ,, die xdisplaystyle x!-Achse in die Richtung QP1,displaystyle QP_1,, die ydisplaystyle y!-Achse in die Richtung MN,displaystyle MN,, womit schließlich auch die Richtung der zdisplaystyle z!-Achse als normal zu den t−,x−,y−displaystyle t-,,x-,,y-!Achsen bestimmt ist. Der Beschleunigungsvektor in Pdisplaystyle P! sei x¨,y¨,z¨,t¨,displaystyle ddot x,,ddot y,,ddot z,,ddot t, der Bewegungsvektor in P1displaystyle P_1! sei x˙1,y˙1,z˙1,t˙1.displaystyle dot x_1,,dot y_1,,dot z_1,,dot t_1. Jetzt lautet der von dem ersten beliebig bewegten Elektron edisplaystyle e! auf das zweite beliebig bewegte Elektron e1displaystyle e_1! in P1displaystyle P_1! ausgeübte bewegende Kraftvektor:

−ee1(t˙1−x˙1c)K,displaystyle -e,e_1left(dot t_1-frac dot x_1cright)mathfrak K,,

wobei für die Komponenten Kx,Ky,Kz,Ktdisplaystyle mathfrak K_x,,mathfrak K_y,,mathfrak K_z,,mathfrak K_t des Vektors Kdisplaystyle mathfrak K die drei Relationen bestehen:

cKt−Kx=1r2,Ky=y¨c2r,Kz=0displaystyle c,mathfrak K_t-mathfrak K_x=frac 1r^2,quad mathfrak K_y=frac ddot yc^2r,quad mathfrak K_z=0

und viertens dieser Vektor Kdisplaystyle mathfrak K, normal zum Bewegungsvektor in P1displaystyle P_1! ist und durch diesen Umstand allein in Abhängigkeit von dem letzteren Bewegungsvektor steht.

Vergleicht man mit dieser Aussage die bisherigen Formulierungen^[8] des nämlichen Elementargesetzes über die ponderomotorische Wirkung bewegter punktförmiger Ladungen aufeinander, so wird man nicht umhin können, zuzugeben, daß die hier in Betracht kommenden Verhältnisse ihr inneres Wesen voller Einfachheit erst in vier Dimensionen enthüllen, auf einen von vornherein aufgezwungenen dreidimensionalen Raum aber nur eine sehr verwickelte Projektion werfen.

In der dem Weltpostulate gemäß reformierten Mechanik fallen die Disharmonien, die zwischen der Newtonschen Mechanik und der modernen Elektrodynamik gestört haben, von selbst aus. Ich will noch die Stellung des Newtonschen Attraktionsgesetzes zu diesem Postulate berühren. Ich will annehmen^{[WS 1]}, wenn zwei Massenpunkte m,m1displaystyle m,,m_1! ihre Weltlinien beschreiben, werde von mdisplaystyle m! auf m1displaystyle m_1! ein bewegender Kraftvektor ausgeübt genau von dem soeben im Falle von Elektronen angegebenen Ausdruck, nur daß statt −ee1displaystyle -e,e_1! jetzt +mm1displaystyle +m,m_1! treten soll. Wir betrachten nun speziell den Fall, daß der Beschleunigungsvektor von mdisplaystyle m! konstant Null ist, wobei wir dann tdisplaystyle t! so einführen mögen, daß mdisplaystyle m! als ruhend aufzufassen ist, und es erfolge die Bewegung von m1displaystyle m_1!

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allein mit jenem von mdisplaystyle m! herrührenden bewegenden Kraftvektor. Modifizieren wir nun diesen angegebenen Vektor zunächst durch Hinzusetzen des Faktors t˙−1=1−v2c2,displaystyle dot t^-1=sqrt 1-frac v^2c^2, der bis auf Größen von der Ordnung 1/c2displaystyle 1/c^2! auf 1 hinauskommt, so zeigt sich^[9], daß für die Orte x1,y1,z1displaystyle x_1,,y_1,,z_1 von m1displaystyle m_1! und ihren zeitlichen Verlauf genau wieder die Keplerschen Gesetze hervorgehen würden, nur daß dabei an Stelle der Zeiten t1displaystyle t_1! die Eigenzeiten τ1displaystyle tau _1! von m1displaystyle m_1! eintreten würden. Auf Grund dieser einfachen Bemerkung läßt sich dann einsehen, daß das vorgeschlagene Anziehungsgesetz verknüpft mit der neuen Mechanik nicht weniger gut geeignet ist, die astronomischen Beobachtungen zu erklären als das Newtonsche Anziehungsgesetz verknüpft mit der Newtonschen Mechanik.

Auch die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in ponderablen Körpern fügen sich durchaus dem Weltpostulate. Sogar die von Lorentz gelehrte Ableitung dieser Gleichungen auf Grund von Vorstellungen der Elektronentheorie braucht zu dem Ende keineswegs verlassen zu werden, wie ich anderwärts zeigen werde.

Die ausnahmslose Gültigkeit des Weltpostulates ist, so möchte ich glauben, der wahre Kern eines elektromagnetischen Weltbildes, der von Lorentz getroffen, von Einstein weiter herausgeschält, nachgerade vollends am Tage liegt. Bei der Fortbildung der mathematischen Konsequenzen werden genug Hinweise auf experimentelle Verifikationen des Postulates sich einfinden, um auch diejenigen, denen ein Aufgeben altgewohnter Anschauungen unsympathisch oder schmerzlich ist, durch den Gedanken an eine prästabilierte Harmonie zwischen der reinen Mathematik und der Physik auszusöhnen.

[N 1]

[N 2]